Борис Александров е роден на 14 ноември 1955-а в Уст Каменогорск в семейство на обикновени работници. Родителите му никога не са се занимавали със спорт, но баща му - Виктор, е огромен фен на хокея. Именно той качва малкия Борис на кънки още когато е на 5 г.
Виктор помага много на сина си. Прави импровизирана ледена пързалка в двора и понякога пази на вратата, за да може малкият Борис да тренира ударите си. Бащата обаче не може да участва пълноценно в тренировките, тъй като след Втората световна война остава със само един крак.
През 1969-а в Уст Каменогорск отваря врати "Леденият дворец". Открива се и отбор по хокей. Борис веднага се записва и само две години по-късно - на 16 г., става част от тима на Торпедо. В него се утвърждава като техничен нападател, но и като биткаджия. Въпреки ръста си от едва 174 см, Александров не се страхува да скача на по-големите и на възраст, и на размери противници.
През 1973-та е забелязан от ЦСКА. Московският гранд играе два приятелски мача с Торпедо и харесва играта на Александров. "Явно съм играл нелошо, вкарах и три гола. От ЦСКА дойдоха, говориха с родителите ми и през август 1973-та се озовах в Москва", разказва Борис за трансфера си в ЦСКА.
Треньорът на "армейците" Анатоли Тарасов е впечатлен от техниката, начина на пързаляне и борбеността на Борис, който дава всичко от себе си дори на тренировките. Не се колебае да влиза в сериозни единоборства и със съотборниците си, които често праща на леда.
В дебютния си сезон Борис се отчита с осем гола и три асистенции в общо 15 мача. Пикът му идва през 1975/76 по време на клубните суперсерии, в които отбори от СССР се изправят срещу противници от НХЛ. Александров вкарва три гола и дава три асистенции, като става известен и със сблъсъците си с Брад Парк от Бостън и Питър Маховлич от Монреал. Впоследствие Борис получава прякора Касиус Клей заради завидните си умения с ръце и не само в управлението на стика.
Впоследствие в своя статия "Ню Йорк Таймс" го нарича "откритието на турнира", а снимка на съветския хокеист се появява на първа страница на изданието.
"Въпреки че бях само на 20 г., не се страхувах от канадците. Точно обратното - бях готов да се бия с тях и да им вкарвам", казва Борис.
След страхотното си представяне в суперсериите младият нападател е извикан в националния отбор за Олимпийските игри през 1976 г. в Инсбрук. В шестте мача Александров вкардва два гола и дава три асистенции. От него се очаква повече, но дори с малко по-скромни показатели Борис успява да помогне на СССР да стигне до олимпийското злато след 4:3 срещу Чехословакия в решаващия мач.
Едва ли обаче някой е подозирал, че сезон 1975/76 ще остане и най-добрият в кариерата на Александров. Тогава нападателят е само на 20 г. и е сред най-талантливите съветски хокеисти. Борис притежава таланта, плама и желанието да се развива. Получава от държавата просторен апартамент и кола, жени се за дъщерята на известния съветски актьор Николай Крючков - Елвира.
Залезът в кариерата му започва още следващия сезон. Нападателят често е гонен за неспортсменско поведение. Започва да пропуска тренировки. През февруари 1977-а репутацията му поема нов удар. По време на дерби между ЦСКА и Спартак, на което присъства лично генералният секретар на ЦК на КПСС Леонид Брежнев, Александров блъска свой противник - Валентин Гуреев, който при падането си удря лошо главата и дори губи съзнание. Борис отново е изгонен, а този път получава и сериозна глоба за наказание.
След инцидента Александров се превръща в нещо като персона нон грата. Дори част от съотборниците му отказват да общуват с него.
През лятото на 1977-а нападателят се замесва в нов скандал. След запой в централен ресторант Борис решава да си извика такси. Отива до автобусната спирка, където вече има опашка от чакащи за такси, прережда всички, блъскайки 55-годишна жена. След като му прави забележка, жената получава удар в лицето.
Насъбралите се мъже не позволяват на Борис да си тръгне, измъкват го от таксито и започват да го налагат. Хокейната звезда е спасена от публичен линч благодарение на бързата реакция на полицията. На Александров отново му се разминава. От ЦСКА убеждават жената да не повдига обвинение срещу играча, за да не петни репутацията на клуба.
Борис не се задържа дълго при "армейците" след това. След непрестанни скандали с треньора отива в СКА МВО, а след още година вече играе за Спартак Москва. Там скандалите утихват и дори в първия сезон се представя доста добре на леда. Във втория обаче чупи крак и изпада извън Топ 10 на реализаторите в тима, което слага край на кариерата му в Спартак.
Така нападателят се връща в родния Торпедо. Прекарва там седем години, като веднъж дори помага на тима до стигне до елитната съветска дивизия. В последната година от състезателната си кариера - 1989/90, играе за италианския Милан.
В над 400 мача в кариерата си Александров вкарва 177 гола.
Впоследствие се насочва към треньорството. Най-доброто му постижение е класирането на Казахстан на осминафиналите на Олимпийските игри през 1998 г. През 2002-ра обаче е уволнен от поста на селекционер след обвинения във финансови измами, въпреки че като треньор не би трябвало да отговаря за тези въпроси.
Само няколко седмици по-късно Александров пътува за Уфа, където да гледа сина си - Виктор, който следва стъпките на баща си и също става хокеист, а по онова време играе за Спартак. Това се оказва последното пътуване за Борис. На 31 юли 2022-ра, в близост до селцето Уст Катав, бившият нападател зад волана на "БМВ" предприема рискова маневра. Изпреварва, но се забива челно във "Волга". Немското возило няма шансове срещу мощната съветска машина и Александров умира на място.
